题面

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给定2023个数x_1,x_2,x_3,……,x_{2022},x_{2023} 满足\sum \limits_{i=1}^{2023}x_i^2=1
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求|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+……+|x_{2022}-x_{2023}|+|x_{2023}-x_1|的最大值
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思路

看到这一题第一步想到的是代数变换你就已经输了，因为你再怎么变化都无法消去绝对值。所以这题最主要的是一眼看出本题的坑，当你想到换元时，你就已经做对一半了。

正解

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令y_i=x_i^2 \ , \ \therefore \sum \limits_{i=1}^{2023}y_i=1 \
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我们观察所求式子的形式，易得当原式取最大值时 $x_i, \ x_{i+1}$ 是不同正负的,即：
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x_ix_{i+1}<0, \ 1\leqslant i \leqslant 2022
$$
而 $x_1,x_{2023}$ 是同正负的，不妨设$x_1>0,x_{2023}>0$
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\therefore x_i=\sqrt{y_i} \ \ (i为奇数)，x_i=-\sqrt{y_i} \ \ (i为偶数)
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如此这般，我们就可以将原始式子的绝对值符号化简为：
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(\sqrt{y_1}+\sqrt{y_2})+(\sqrt{y_2}+\sqrt{y_3})+……+(\sqrt{y_{2022}}+\sqrt{y_{2023}})+|\sqrt{y_{2023}}-\sqrt{y_1}|
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讨论 $y_1, \ y_{2023}$ 的大小关系：
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当y_1>y_{2023}时，原式=2\sum \limits_{i=1}^{2022}\sqrt{y_i}
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$$
当y_{2023}>y_1时，原式=2\sum \limits_{i=2}^{2023}\sqrt{y_i}
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易知两式等价，所以我们讨论第一个式子的最大值。用调整法，我们发现，当和一定时，两数越接近他们的开方和越大：
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若有两数0\leqslant a,0\leqslant b \ ,\ a+b=k(a>b) ， S_1=\sqrt{a}+\sqrt{b},S_2=\sqrt{\frac{a+b}{2}}+\sqrt{\frac{a+b}{2}}
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S_1^2=a+b+2\sqrt{ab},S_2^2=a+b+(a+b)
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又\because 2\sqrt{ab}\leqslant a+b,\therefore S_1^2\leqslant S_2^2
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\therefore S_1<S_2
$$
因此，对于2022个数，取
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x_i=\frac{1}{2022},S_{max}= 4044\sqrt{\frac{1}{2022}}=2\sqrt{2022}
$$
同理可证另一种情况答案亦如此。

更一般的，若
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给定n个数x_1,x_2,x_3,……,x_{n-1},x_{n} 满足\sum \limits_{i=1}^{n}x_i^2=1
$$
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|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+……+|x_{n-1}-x_n|+|x_n-x_1|的最大值为
$$
$$S_{max}=2\sqrt{(n-1)k}
$$